Nombre icosaédrique

Anaglyphe d'une construction de $I_{3}=48$ ; il y a 12 boules aux sommets, plus 30 boules aux milieux des arêtes, plus 6 boules supplémentaires pour le petit icosaèdre interne.

Un nombre icosaédrique est un nombre figuré polyédrique comptant des points régulièrement répartis dans un icosaèdre régulier. Le nombre icosaédrique d'ordre n, correspondant au cas où il y a n points sur chaque arête de l'icosaèdre, est donné par la formule :

$I_{n}={n(5n^{2}-5n+2) \over 2}=n\left(5{\binom {n}{2}}+1\right)$.

Les premiers de ces nombres sont 1, 12, 48, 124, 255, 456, 742, 1128, 1629, 2260, 3036, 3972, 5083, ... ( suite A006564 de l'OEIS).

Obtention du nombre icosaédrique d'ordre n

On obtient $I_{n}$ à partir de la relation : $I_{n}-I_{n-1}=(S-1)+(A-d)(n-2)+(F-d)(P_{k,n}-k(n-1))$,

où $S=12,A=30,F=20$ sont les nombres de sommets, arêtes et faces de l'icosaèdre, $\{k,d\}=\{3,5\}$ son symbole de Schläfli : {nombre d'arêtes par face, nombre d'arêtes (et aussi de faces) par sommet} et $P_{k,n}$ le nombre k-gonal d'ordre n .

On obtient donc $I_{n}-I_{n-1}=(12-1)+(30-5)(n-2)+(20-5)(n(n+1)/2-3(n-1))={\frac {15n^{2}-25n+12}{2}}$.

D'où $I_{n}={\frac {1}{2}}\left(15{\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}-25{\frac {n(n+1)}{2}}+12n\right)={n(5n^{2}-5n+2) \over 2}$.

Voir aussi

• Nombre dodécaédrique
• Nombre icosaédrique centré